Вычисление уровня средней анизотропии для системы с двумерным временем

Автор(ы): Титов А.Д.

Выпуск: 119

Рубрика: Математическая теория управления

Год: 2026

Библиография: Титов А.Д. Вычисление уровня средней анизотропии для системы с двумерным временем // Управление большими системами. - 2026. - Вып. 119. - С.138-159.

Дата опубликования: 31.01.2026

Ключевые слова: анизотропийная теория, средняя анизотропия, дискретные системы, 2D-системы, формирующий фильтр

Аннотация: Проведено исследование линейной двумерной дискретной стационарной системы, описывающей повторяющиеся процессы на целочисленной решетке, в рамках анизотропийной теории управления. Системы, динамика которых зависит от двух независимых переменных с пространственно-временной характером, широко используются для моделирования процессов. Актуальность данной работы обусловлена необходимостью развития робастных методов анализа и синтеза для многомерных систем. Анизотропийная теория предлагает альтернативный подход к моделям, функционирующим в условиях стохастических возмущений со сложной внутренней структурой. Она характеризует возмущения через единую меру их структурированности, что позволяет обобщить и расширить постановки оптимизационных задач робастного управления. Важным теоретическим результатом является получение полного описания формирующего фильтра в частотной и временной областях. В работе показано, что величина средней анизотропии в двумерном случае аддитивно раскладывается на две компоненты: анизотропию расширенного вектора состояния и взаимную информацию между вектором выхода и его предысторией. Для последовательности случайных векторов представлены формулы и вспомогательные соотношения, позволяющие осуществить ее вычисление. Методология построена на применении специального преобразования – векторизации в пределах одного профиля и использовании фундаментального математического аппарата, включая формулу Колмогорова – Сегё, а также уравнения Ляпунова и Риккати. Приведен численный пример расчета средней анизотропии последовательности, проанализирована ее зависимость от параметра длины прохода системы. В целях наглядности продемонстрированы результаты расчетов.

Author(s): Titov A.

Article title: Calculation of the mean anisotropy level for a two-dimensional time system

Issue: 119

Year: 2026

Keywords: anisotropy-based theory, mean anisotropy, discrete systems, 2D systems, shaping filter

Abstract: A linear two-dimensional discrete stationary system describing repetitive processes on an integer lattice is studied in the framework of anisotropy-based theory. Systems, whose dynamics depend on two independent variables with a spatiotemporal character, are widely used for process modeling. The relevance of this work is determined by the need to develop robust methods of analysis and synthesis for multidimensional systems. Anisotropy-based theory offers an alternative approach to models operating under conditions of stochastic perturbations with a complex internal structure. It characterizes perturbations through a single measure of their structurality, which makes it possible to generalize and expand the formulation of optimization problems of robust control. An important theoretical result is to obtain a complete description of the shaping filter in the frequency and time domains. It is shown that the value of the mean anisotropy in the two-dimensional case is additively decomposed into two components: the anisotropy of the extended state vector and the mutual information between the output vector and its background. Formulas and auxiliary relations are presented for a sequence of random vectors, which make it possible to calculate it. The methodology is based on the application of a special transformation – vectorization within a single profile and the use of fundamental mathematical tools, including the Kolmogorov – Sege formula, as well as the Lyapunov and Riccati equations. A numerical example of calculating the mean anisotropy of a sequence is given, and its dependence on the parameter of the pass length of the system is analyzed. For the clarity, the results of calculations are demonstrated.