Анализ робастной устойчивости с помощью функций Ляпунова, зависящих от возмущений

Автор(ы): Кочетков С.А., Орлов Ю.В., Уткин В.А.

Выпуск: 121

Рубрика: Математическая теория управления

Год: 2026

Библиография: Кочетков С.А., Орлов Ю.В., Уткин В.А. Анализ робастной устойчивости с помощью функций Ляпунова, зависящих от возмущений // Управление большими системами. - 2026. - Вып. 121. - С.82-104.

Дата опубликования: 31.05.2026

Ключевые слова: робастная устойчивость, неопределенные системы, функции Ляпунова, внешние возмущения

Аннотация: Одним из наиболее часто используемых методов для анализа устойчивости и синтеза законов управления является метод функций Ляпунова. Существует множество подходов к составлению таких функций на основе энергетического подхода, метода Зубова, барьерных функций, эвристических подходов и др. В данной работе метод функций Ляпунова был полностью переосмыслен для анализа устойчивости динамических нелинейных систем при наличии неопределенностей в математическом описании объекта управления и воздействии внешних неизвестных возмущений. Для указанных систем в работе было введено понятие робастной устойчивости, которое затем концептуализируется для рассматриваемых систем за счет введения новых функций Ляпунова, включающих в себя неизвестные возмущения. Приведено формальное определение таких функций Ляпунова и определены условия их асимптотической сходимости к нулю, что гарантирует устойчивость начала координат исходной неопределенной системы. На основе несложного динамического объекта второго порядка приведены примеры таких функций Ляпунова, а также показано новое свойство законов управления, которые могут быть синтезированы на их основе. Оказалось, что при определенных условиях с помощью регулятора, синтезированного на основе предложенных функций Ляпунова, обеспечивается свойство асимптотического подавления внешних несогласованных возмущений, воздействующих на управляемый объект. Эффективность предложенных аналитических инструментов и нового закона управления продемонстрирована на нетривиальном численном примере.

Author(s): Kochetkov S., Orlov Y., Utkin V.

Article title: Robust stability analysis using disturbance-dependent Lyapunov functions

Issue: 121

Year: 2026

Keywords: robust stability, uncertain systems, Lyapunov functions, external disturbances

Abstract: One of the most frequently used methods for stability analysis and control law synthesis is the Lyapunov function method. Numerous approaches to constructing such functions exist, including the energy approach, Zubov's method, barrier functions, heuristic approaches, and others. In this paper, the Lyapunov function method was completely reinterpreted for analyzing the stability of dynamic nonlinear systems in the presence of uncertainties in the mathematical description of the control object and the influence of external unknown disturbances. For these systems, the concept of robust stability was introduced in the paper, which is then conceptualized for the systems under consideration by introducing new Lyapunov functions that include unknown disturbances. A formal definition of such Lyapunov functions is provided, and conditions for their asymptotic convergence to zero are determined, guaranteeing the stability of the origin of the initial uncertain system. Examples of such Lyapunov functions are presented using a simple second-order dynamic object, and a new property of control laws, that can be synthesized based on them is demonstrated. It turns out that, under certain conditions, a controller synthesized using the proposed Lyapunov functions ensures asymptotic suppression of external unmatched disturbances affecting the control plant. The effectiveness of the proposed analytical tools and the new control law is demonstrated by means of a non-trivial numerical example.