Одна система массового обслуживания и числа Фибоначчи

Автор(ы): Соболев В.Н.

Выпуск: 80

Рубрика: Системный анализ

Год: 2019

Библиография: Соболев В.Н. Одна система массового обслуживания и числа Фибоначчи // Управление большими системами. Выпуск 80. М.: ИПУ РАН, 2019. С.20-39. DOI: https://doi.org/10.25728/ubs.2019.80.2

Дата опубликования: 31.07.2019

Ключевые слова: система массового обслуживания, групповое поступление, стационарное распределение, производящая функция вероятностей, числа Фибоначчи, биномиальные коэффициенты, суммы биномиальных коэффициентов, последовательность Фибоначчи, обобщенные многочлены Фибоначчи, обобщённые числа Фибоначчи, формула Бине, производящая функция, производящая функция чисел Фибоначчи, геометрическое распределение

Аннотация: Рассматривается однолинейная система массового обслуживания с групповым поступлением требований, в которой моменты поступления групп требований образуют пуассоновский поток, длительности обслуживания имеют показательное распределение, число заявок в группе ограничено, а число мест для ожидания не ограничено. В приходящей группе может быть только одно или два требования. Для данной системы массового обслуживания найдено алгебраическое представление для стационарных вероятностей числа заявок в~системе. Данное распределение вероятностей выписывается через многочлены, подобные многочленам Фибоначчи. Частным случаем возникающего распределения является геометрическое распределение. Связь рассматриваемых многочленов с числами Фибоначчи позволяет при определённых условиях на параметры исследуемой системы представить распределение, выписанное через обобщённые многочлены, в виде распределения, содержащего числа Фибоначчи. С помощью формулы Бине для данных многочленов показывается, что в некоторых случаях найденное распределение является асимптотически геометрическим. При этом погрешность убывает экспоненциально. Опираясь на распределение вероятностей, содержащее числа Фибоначчи, в работе представлен элементарный вероятностный вывод производящей функции для чисел Фибоначчи. Доказательство одного комбинаторного тождества позволяет получить представление чисел Фибоначчи через двойную сумму биномиальных коэффициентов, а также показывает второй способ нахождения искомых вероятностей. Из данного тождества путем изменения порядка суммирования для чисел Фибоначчи получаются либо представление Каталана, либо формула Лукаса.

Author(s): Sobolev V.

Article title: One queueing system and Fibonacci numbers

Issue: 80

Year: 2019

Keywords: queueing system, batch arrivals, stationary distribution, probability generating functions, Fibonacci numbers, binomial coefficients, sums of binomial coefficients, Fibonacci sequence, Generalized Fibonacci polynomials, Binet's Fibonacci number formula, Generalized Fibonacci numbers, Binet form, generating function, generating function for a Fibonacci numbers, geometric distribution, Pisot number

Abstract: This paper deals with a queuing system with Poisson arrivals, exponential service times, single service channel and infinite number of waiting positions, customers are serviced in the order of their arrival. The requests arrives in groups and the number of requests in a group is one or two. For this queueing system be found in algebraic form the steady-state probabilities for the number of customers in the system. A probability mass function of this distribution can be defined by polynomials like polynomials Fibonacci. The geometric distribution is a special case of this distribution. Fibonacci numbers can be expressed in terms of the polynomials like polynomials Fibonacci. Consequently our distribution expressed in terms of this polynomials under certain conditions can be written in terms of Fibonacci numbers. Using the Binet formula is shown that in some cases the found distribution is asymptotically geometric distribution. In this paper it is shown that the Bernoulli numbers can be expressed as an elementary double sum of binomial coefficients. Changing the order in that double sum and summing one of them get a formula for Fibonacci numbers which Catalan developed or Lucas formula for Fibonacci numbers.