Об одном асимптотическом разложении решения уравнения восстановления

Автор(ы): Русев В.Н.

Выпуск: 84

Рубрика: Системный анализ

Год: 2020

Библиография: Русев В.Н. Об одном асимптотическом разложении решения уравнения восстановления // Управление большими системами. Выпуск 84. М.: ИПУ РАН, 2020. С.6-34. DOI: https://doi.org/10.25728/ubs.2020.84.1

Дата опубликования: 31.03.2020

Ключевые слова: уравнение восстановления, функция восстановления, преобразование Лапласа, производящая функция моментов, проблема моментов Чебышёва – Маркова – Стилтьеса, распределение Вейбулла – Гнеденко.

Аннотация: Изучается уравнение восстановления, представляющее собой интегральное уравнение Вольтерра второго рода типа свертки с разностным ядром. Данное уравнение рассматривается как для плотности восстановления, так и для ее первообразной – функции восстановления. Функция восстановления имеет существенное значение в теории надёжности технических систем не только в качестве описательной характеристики, но также для оптимизации стратегий эксплуатации при управлении профилактического обслуживания в предположении выполнения модели рекуррентных потоков восстановлений. Предлагается аналитический метод получения асимптотического представления решения уравнения восстановления для некоторого класса распределений при выполнении определенного ряда условий на распределение. Достоверность указанного разложения проверена на базовом в математической теории надёжности показательном распределении. В качестве примера, показывающего, что класс описанных распределений не есть пустое множество, рассматривается двухпараметрическое распределение Вейбулла – Гнеденко, которое является естественным обобщением показательного распределения. В работе используются аппарат теории рядов и метод производящей функции моментов, которая является преобразованием Лапласа плотности распределения неотрицательной непрерывной случайной величины. Попутно освещена проблема моментов Чебышёва – Маркова – Стильтеса об однозначном задании распределения последовательностью своих моментов, выполнение которой имеет значимость для указанного разложения. Выражение для решения уравнения восстановления в случае плотности восстановления представляет собой ряд типа Грама – Шарлье в терминах вероятностных моментов.

Author(s): Rusev V.

Article title: On some asymptotic expansion of solution of renewal equation

Issue: 84

Year: 2020

Keywords: renewal equation, renewal function, Laplace transform, moments generating function, Chebyshev-Markov-Stieltjes moment problem, Weibull-Gnedenko distribution.

Abstract: In this paper, the renewal equation is studied. It is the Volterra integral convolution equation of the second kind with a difference kernel. This equation is considered both for the renewal density and for its primitive, the renewal function. The renewal function is essential in the theory of technical systems reliability not only as a descriptive characteristic, but also for operational strategies optimization in the preventive maintenance management, assuming the implementation of the recurrent recovery flows model. A certain analytical method is suggested for obtaining an asymptotic representation of the recovery equation solution for the special class of distributions under some given conditions. The validity of the stated expansion was checked for the exponential distribution, which is basic in the reliability mathematical theory. To show that the class of the described distributions is not an empty set, as an example, the two-parameter Weibull-Gnedenko distribution was considered, which is a natural generalization of the exponential distribution. The apparatus of series theory and the generating moment function method are used. The last is a Laplace transform of non-negative continuous random variable density distributions. The Chebyshev-Markov-Stieltjes moment problem is also highlighted. It means the possibility of the unique distribution restoration by the sequence of its moments. This problem is significant for the mentioned expansion. The expression for the renewal equation solution in the case of the renewal density has the form of Gram-Charlier’s type series in terms of probability moments.