Об исключительном случае в задаче о размещении полюсов

Автор(ы): Мухин А.В.

Выпуск: 112

Рубрика: Математическая теория управления

Год: 2024

Библиография: Мухин А.В. Об исключительном случае в задаче о размещении полюсов // Управление большими системами. - 2024. - Вып. 112. - С.64-73.

Дата опубликования: 30.11.2024

Ключевые слова: задача о размещении полюсов, статический регулятор по выходу, след матрицы

Аннотация: Рассматривается задача о размещении полюсов с помощью статического регулятора по выходу. Если задача разрешима, то спектр матрицы замкнутой системы можно расположить в любых заданных, симметричных относительно действительной оси точках комплексной полуплоскости. Это дает возможность не просто стабилизировать систему, но и задавать требуемые характеристики, такие, как запас устойчивости, время переходных процессов и другие. Известно, что если произведение числа входов и выходов превышает размерность системы, то задача о размещении полюсов для системы, заданной в виде передаточной матрицы, разрешима. В статье показано, что данное соотношение не является достаточным условием для системы, заданной в пространстве состояний. Существует исключительный случай, при котором задача о размещении полюсов принципиально неразрешима. Этот случай легко обнаруживается с помощью перемножения матриц выхода и входа. Если это произведение дает нулевую матрицу, то в силу неизменности следа матрицы замкнутой системы, задача неразрешима как в действительной, так и в комплексной области. Причем произведение матриц выхода и входа инвариантно относительно базиса. Сформулировано необходимое условие разрешимости.

Author(s): Mukhin A.

Article title: About an unusual case in the pole placement problem

Issue: 112

Year: 2024

Keywords: the pole placement problem, static output feedback, trace of matrix

Abstract: The pole placement problem using a static output feedback is considered. If the problem is solvable, then the spectrum of the closed-loop system matrix can be located at any given points of the complex half-plane, symmetric with respect to the real axis. This makes it possible not only to stabilize the system, but also to set the required characteristics, such as stability margin, transition time, and others. It is known that if the multiplication of the number of inputs and outputs is greater than the dimension of the system, then the pole placement problem for a system in the form of a transfer matrix is solvable. The article shows that this ratio is not a sufficient condition for a system defined in the state space. There is an exceptional case in which the pole placement problem is fundamentally unsolvable. This case is simple discovered be means of multiplying of matrixes output and input. If this product gives a zero matrix, then due to the matrix trace consistency of the closed system matrix, the problem is unsolvable both in the real and in the complex domain. Moreover, the product of the output and input matrices is invariant with respect to the basis. A necessary condition for solvability is formulated.