Асимптотика моментов и их производных для избыточных распределений

Автор(ы): Острер Л.А., Русев В.Н., Скориков А.В.

Выпуск: 112

Рубрика: Надежность и диагностика средств и систем управления

Год: 2024

Библиография: Острер Л.А., Русев В.Н., Скориков А.В. Асимптотика моментов и их производных для избыточных распределений // Управление большими системами. - 2024. - Вып. 112. - С.274-293.

Дата опубликования: 30.11.2024

Ключевые слова: асимптотические разложения, средние избыточные функции, избыточная дисперсия, распределения с тяжелыми хвостами

Аннотация: Функционирование современных сложных систем характеризуется различными видами рисков. Анализ данных таких систем показывает, что обычно наборы данных обладают характерным свойством: поведением распределения при больших значений аргумента, которое называется тяжелым хвостом Рассматриваются классы распределений с тяжелыми хвостами, которые имеют важные приложения в теории страховых случаев и теории надежности: распределения Гнеденко – Вейбулла; Бенктандера I, II; Бурра XII. .Асимптотика момента для функции превышения среднего значения и функции превышения дисперсии были получены специально для рассматриваемых распределений с тяжелыми хвостами и могут быть использованы для получения аппроксимации при больших значениях временной переменной. В работе подробно изучается оценка погрешности для асимптотического разложения функции среднего избытка распределения Гнеденко – Вейбулла при любых значениях параметра формы. Отмечено существенное различие в поведении оценок погрешности при значениях параметра формы меньших единицы, соответствующих тяжелому хвосту распределения Гнеденко – Вейбулла. В частности, найдены значения параметра формы, при которых разложения точны, т.е. имеют конечное число слагаемых. Для распределений Гнеденко – Вейбулла; Бенктандера I, II; Бурра XII доказаны асимптотические разложения производных остаточных моментов. Рассмотрено также описание поведения системы как области притяжения предельного экстремального состояния. Результаты статьи служат инструментом для приложений к теории риска, надежности и экстремальным событиям.

Author(s): Ostrer L., Rusev V., Skorikov A.

Article title: The asymptotics of moments and moment’s derivatives for excess distribution

Issue: 112

Year: 2024

Keywords: distribution tail, asymptotic expansion, mean excess functions, excess variance, heavy-tail distributions

Abstract: The functioning of modern complex systems is characterized by various types of risks. Data analysis of such systems shows that data sets have characteristic properties: heavy distribution tails. An important issue is the impact of individual extreme events on the global behavior of the entire system too. The proposed article discusses classes of distributions with heavy tails, which are important in the theory of insurance claims and reliability theory: Gnedenko-Weibull distribution; Benktander I, II; Burr XII. The moment`s asymptotics have been derived for mean excess function and excess variance function especially for the heavy-tailed distributians. The paper studies in detail the error estimate for the asymptotic expansion of the mean excess function of the Gnedenko–Weibull distribution for any values of the shape parameter. There is a significant difference in the behavior of error estimates for values of the shape parameter less than one corresponding to the heavy tail of the Gnedenko –Weibull distribution. The values of the shape parameter are found for which the decompositions are accurate in particular. That is, the expansion has finite quantity members. Asymptotic expansions of derivatives of residual moments are proved for Gnedenko-Weibull; Benktander I, II; Burr XII distributions. The description of the behavior of the system as a region of attraction of the ultimate extreme state is also considered. These results serve as a tool for the applications to risk theory, reliability and extremal event.