Динамическое восстановление коэффициентов сплошной среды при моделировании нестационарных процессов

Автор(ы): Жуков П.И.

Выпуск: 114

Рубрика: Системный анализ

Год: 2025

Библиография: Жуков П.И. Динамическое восстановление коэффициентов сплошной среды при моделировании нестационарных процессов // Управление большими системами. - 2025. - Вып. 114. - С.41-64.

Дата опубликования: 31.03.2025

Ключевые слова: параметрическая оптимизация, нестационарные процессы, коэффициентные обратные задачи, параболические уравнения

Аннотация: При моделировании нестационарных процессов в сплошных средах при помощи параболических дифференциальных уравнений часто встречаются ситуации, когда коэффициент, обеспечивающий связь левой и правой части уравнения, описывается как некоторая функция от множества переменных, включая состояния исследуемой среды. Восстановление данной зависимости, как правило, требует решения обратных коэффициентных задач, основанных на известных состояниях среды. На практике это означает, что обратная задача решается, опираясь, помимо прочего, на некоторую невязку между модельными данными и известными наблюдениям. Тем не менее нередки случаи, когда таких наблюдений критически мало во времени, например измерения состояния среды происходят с определенным очень большим временным шагом или вообще только в конце нестационарного процесса. Тогда в ретроспективных наблюдениях присутствуют моменты времени, когда состояние среды неизвестно, ввиду чего для них нельзя определить градиент ошибки и с приемлемой точностью восстановить искомую функциональную зависимость. В данной работе предлагается альтернативный взгляд на проблему восстановления коэффициентов сплошной среды для ситуаций, когда известных состояний среды значительно меньше, чем неизвестных. Непрерывный нестационарный процесс был рассмотрен, как дискретный, развивающийся во времени, и была предложена рекуррентная функция смены дискретных состояний. На основе данной функции был предложен численный метод интерполяции градиента ошибки между ожидаемым и фактическим состояниями среды внутри двух любых известными состояний. Был продемонстрирован процесс восстановления дискретных значений коэффициентов в отдельные моменты времени при помощи метода стохастического градиентного спуска на основе численной модели обобщенного параболического уравнения с произвольным внешним воздействием на границе.

Author(s): Zhukov P.

Article title: Dynamic restoration of continuum coefficients in modeling of non-stationary processes

Issue: 114

Year: 2025

Keywords: parametric optimization, nonstationary processes, coefficient inverse problems, parabolic equations

Abstract: When modeling nonstationary processes in continuous media by means of parabolic differential equations, we often encounter situations when the coefficient providing the connection between the left and right parts of the equation is described as a function of a set of variables, including the states of the medium under study. The recovery of this dependence, as a rule, requires the solution of inverse coefficient problems based on known states of the medium. In practice, this means that the inverse problem is solved relying, among other things, on some discrepancy between model data and known observations. Nevertheless, there are cases when such observations are critically small in time, for example, measurements of the state of the medium occur with a certain very large time step or only at the end of a nonstationary process. In such cases, retrospective observations contain time moments when the state of the medium is unknown, which makes it impossible to determine the error gradient for them and to restore the desired functional dependence with acceptable accuracy. In this paper, we propose an alternative view of the problem of restoring continuum coefficients for situations when the known states of the medium are much smaller than the unknown ones. A continuous nonstationary process was considered as a discrete process evolving in time, and a recurrent function of discrete state change was proposed. Based on this function, a numerical method for interpolating the error gradient between the expected and actual states of the medium within any two known states was proposed. The process of recovery of discrete values of coefficients at separate moments of time by means of the stochastic gradient descent method was demonstrated on the basis of a numerical model of a generalized parabolic equation with an arbitrary external influence on the boundary.