Эффективный метод численного решения объемных интегральных уравнений Фредгольма для задач моделирования распространения акустических волн

Автор(ы): Юрченков И.А.

Выпуск: 115

Рубрика: Математическая теория управления

Год: 2025

Библиография: Юрченков И.А. Эффективный метод численного решения объемных интегральных уравнений Фредгольма для задач моделирования распространения акустических волн // Управление большими системами. - 2025. - Вып. 115. - С.138-155.

Дата опубликования: 31.05.2025

Ключевые слова: объемные интегральные уравнения, задача акустики, уравнение Фредгольма, итерационные методы, быстрое преобразование Фурье, уравнение Гельмгольца

Аннотация: Целью исследования является разработка численной схемы с использованием итерационных методов решения систем уравнений для решения объемных задач акустики с неоднородным индексом рефракции. Приводится постановка задачи распространения акустических волн в виде объемного интегрального уравнения Фредгольма второго рода. Для дискретизации задачи с целью последующего численного решения использована структурированная объемная прямоугольная сетка. С использованием дискретизации постановка задачи сводится к дискретизированному оператору в виде системы уравнений с большим количеством неизвестных и матрицей оператора высокой размерности. Учитывая особенности интегральных ядер уравнения Гельмгольца в интегральной форме, приводятся численные методы решения систем уравнений с использованием модификаций матрично-векторного умножения тёплицевых матриц на вектор на основе быстрого дискретного преобразования Фурье. Продемонстрированы численные результаты работы комплекса программ моделирования распространения реализаций модели плоской волны в объемной среде с неоднородным индексом рефракции. Особое внимание уделяется возможности быстрого решения задач математической физики на структурированной сетке большой размерности, что позволит рассматривать особенности решения на сложных неоднородных границах, а также упростить аппроксимацию решения. В завершение будут сделаны выводы о качестве получаемых решений на различных примерах неоднородностей рассматриваемой объемной области.

Author(s): Yurchenkov I.

Article title: An efficient method for numerical solution of volume integral fredholm equations for acoustic wave propagation modeling problems

Issue: 115

Year: 2025

Keywords: volume integral equations, acoustic problem, Fredholm equation, iterative methods, fast Fourier transform, Helmholtz equation

Abstract: The purpose of the research is to develop a numerical scheme using iterative methods for solving systems of equations for solving bulk acoustic problems with inhomogeneous refraction index. The paper presents a formulation of the acoustic wave propagation problem in the form of a volume integral Fredholm equation of the second kind. A structured volume rectangular mesh is used to discretize the problem for the purpose of subsequent numerical solution. Using discretization, the problem formulation is reduced to a discretized operator in the form of a system of equations with a large number of variables and an operator matrix of high dimensionality. Taking into account the peculiarities of the integral kernels of the Helmholtz equation in integral form, numerical methods for solving the systems of equations using modifications of the matrix-vector multiplication of Toeplitz matrices by a vector based on the fast discrete Fourier transform are given. Numerical results of a set of programs for modeling propagation realizations of a plane wave model in a volumetric medium with inhomogeneous refraction index are demonstrated. Special attention in this paper is paid to the possibility of fast solution of mathematical physics problems on a structured grid of high dimensionality, which will allow us to consider the features of the solution on complex inhomogeneous boundaries, as well as to simplify the approximation of the solution. Finally, conclusions will be drawn about the quality of the obtained solutions on different examples of inhomogeneities of the considered volume domain.