Декомпозиция спектральных разложений квадратичной функции Ляпунова по элементам пространства состояний

Автор(ы): Кутяков Е.Ю.

Выпуск: 116

Рубрика: Математическая теория управления

Год: 2025

Библиография: Кутяков Е.Ю. Декомпозиция спектральных разложений квадратичной функции Ляпунова по элементам пространства состояний // Управление большими системами. - 2025. - Вып. 116. - С.68-89.

Дата опубликования: 26.07.2025

Ключевые слова: уравнение Ляпунова, квадратичная функция Ляпунова, грамиан, субграмиан, пространство состояний, модальный анализ

Аннотация: Разложение квадратичной функции Ляпунова по элементам спектра матрицы динамики уже известно. Основными его компонентами являются модальный вклад и модальное взаимодействие, которые образуют базу модального анализа по Ляпунову. В представленной работе изложены результаты дальнейшей декомпозиции этих спектральных разложений по отдельным переменным состояния и по их парным комбинациям. Полученный результат можно также рассматривать как разложение квадратичной функции Ляпунова не только по элементам спектра динамической системы (по модам), но и по элементам пространства состояний, в котором записана модель этой системы. На основе предложенного способа декомпозиции сформулированы новые показатели модального анализа по Ляпунову, которые позволяют оценивать вклад отдельных собственных значений или их парное взаимодействие, но в связи только с той частью внешнего возмущения, которая ассоциирована с конкретной переменной состояния или парой таких переменных. Это, в частности, даёт возможность комплексно оценить совместное влияние как моды, так и связанной с ней переменной состояния на энергию выходного сигнала системы. Предполагается, что основная область применения новых разложений будет связана с задачами уменьшения размерности моделей крупных динамических систем.

Author(s): Kutyakov E.

Article title: Decomposition of spectral expansions of the quadratic Lyapunov function on state-space variables

Issue: 116

Year: 2025

Keywords: Lyapunov equation, quadratic Lyapunov function, Gramian, sub-Gramian, state-space, modal analysis

Abstract: Spectral decomposition of the quadratic Lyapunov function is already known. The modal contribution and modal interaction are the main components of this decomposition, which form the basis of Lyapunov modal analysis. This paper presents the results of a further expansion of these spectral components into individual state variables and into their pairwise combinations. The obtained result can also be considered as a decomposition of the quadratic Lyapunov function not only by elements of the spectrum of the dynamical system (by modes), but also by elements of the state space. On the basis of the proposed decomposition method, new Lyapunov modal analysis indices are formulated, which allow one to evaluate the contribution of individual eigenvalues or their pairwise interaction, but in connection only with the part of the external perturbation that is associated with a particular state variable or a pair of such variables. This, in particular, makes it possible to comprehensively evaluate the joint influence of both the mode and the associated state variable on the energy of the system output signal. It is assumed that the main area of application of the new decompositions will be related to the problems of the model order reduction of the large dynamical systems.