Оптимальное управление для математической модели затухающих волн на мелкой воде

Автор(ы): Замышляева А.А., Бычков Е.В.

Выпуск: 119

Рубрика: Системный анализ

Год: 2026

Библиография: Замышляева А.А., Бычков Е.В. Оптимальное управление для математической модели затухающих волн на мелкой воде // Управление большими системами. - 2026. - Вып. 119. - С.39-60.

Дата опубликования: 31.01.2026

Ключевые слова: оптимальное управление, математическая модель распространения затухающих волн на мелкой воде, уравнения соболевского типа, проекционный метод

Аннотация: Комбинируя методы теории уравнений соболевского типа высокого порядка, методы монотонных операторов и компактности, удалось доказать существование единственного решения начально-краевой задачи для неоднородного уравнения полного полулинейного уравнения соболевского типа второго порядка для случая самосопряженных и неотрицательно определенных операторов в линейной части и s-монотонного и p-коэрцитивного и однородного нелинейного оператора с симметричной производной Фреше. Показана продолжимость локального решения на произвольный промежуток по времени, что позволило поставить и решить задачу оптимального управления. В задаче оптимального управления критерием оптимальности служит балансовый (классический) функционал, используемые в нем нормы определяются по теореме существования решения начально-краевой задачи. Затем абстрактные результаты применены к начально-краевой задаче для уравнения Буссинеска – Лява с нелинейным членом степенного вида, характеризующим конвекцию в среде, которое моделирует распространение затухающих волн на мелкой воде. Математическая модель также учитывает капиллярные силы, поэтому оператор при старшей производной по времени может быть необратим, в силу этого уравнение относится к уравнениям соболевского типа. Кроме того, уравненение Буссинеска – Лява моделирует продольные колебания в тонком упругом стержне. Доказана *-слабая сходимость приближенных решений, построенных на основе проекционного метода (метода Галеркина) по системе собственных функций оператора –Delta. Рассмотрены начальные условия Коши и Шоуолтера – Сидорова.

Author(s): Zamyshlyaeva A., Bychkov E.

Article title: Optimal control for a mathematical model of damped waves in shallow water

Issue: 119

Year: 2026

Keywords: optimal control, mathematical model of propagation of damped waves in shallow water, Sobolev type equations, projection method

Abstract: Combining the methods of the theory of high-order Sobolev-type equations, the methods of monotone operators and compactness, it was possible to prove the existence of a unique solution to the initial-boundary value problem for the inhomogeneous equation of the complete semilinear second-order Sobolev-type equationfor the case of self-adjoint and non-negative definite operators in the linear part and an s-monotone, p-coetitive and homogeneous nonlinear operator with a symmetric Frechet derivative. The extendability of the local solution to an arbitrary time interval is shown, which made it possible to formulate and solve the optimal control problem. In the optimal control problem, the optimality criterion is the balance (classical) functional, the norms used in it are determined by the theorem of existence of a solution to the initial-boundary value problem. The abstract results are then applied to an initial-boundary value problem for the Boussinesq – Love equation with a nonlinear power-law term characterizing convection in the medium, which models the propagation of decaying waves in shallow water. The mathematical model also takes capillary forces into account, so the operator at the highest time derivative may be irreversible, making the equation a Sobolev-type equation. Furthermore, the Boussinesq – Love equation models longitudinal oscillations in a thin elastic rod. *-weak convergence of approximate solutions constructed on the basis of the projection method (Galerkin method) for the system of eigenfunctions of the operator -Delta is proved. The initial conditions of Cauchy and Showalter – Sidorov are considered.