Понижение размерности моделей динамических систем на основе спектральных разложений грамиана наблюдаемости

Автор(ы): Кутяков Е.Ю.

Выпуск: 119

Рубрика: Математическая теория управления

Год: 2026

Библиография: Кутяков Е.Ю. Понижение размерности моделей динамических систем на основе спектральных разложений грамиана наблюдаемости // Управление большими системами. - 2026. - Вып. 119. - С.91-137.

Дата опубликования: 31.01.2026

Ключевые слова: понижение размерности, грамиан наблюдаемости, субграмиан, нелинейная аппроксимация, линеаризация Карлемана

Аннотация: Рассмотрен вопрос использования разложения грамиана наблюдаемости по собственным значениям матрицы динамики линейной динамической системы при решении задачи понижения её размерности. Предложена концепция двойного усечения, предполагающая одновременное устранение из динамической системы как собственных значений матрицы динамики (мод), так и переменных состояния. Сформулирована и доказана теорема о связи квадратичной функции Ляпунова и $H_2$-нормы передаточной функции линейной динамической системы полной и пониженной размерности. На основе данной теоремы предложено несколько способов оценки степени значимости удаляемых мод и состояний, а также разработан итеративный алгоритм метода двойного усечения. Полученные результаты распространены на случай понижения размерности автономных нелинейных аппроксимаций моделей динамических систем, линеаризованных методом Карлемана. Эффективность предложенного метода редуцирования продемонстрирована в ходе вычислительных экспериментов, проведённых на трёх линейных моделях, и одной квадратичной аппроксимации. В линейном случае метод двойного усечения даёт стабильно хорошее приближение исходной системы, однако уступает методам модального и сбалансированного усечения как по точности, так и по быстродействию. В случае автономных нелинейных аппроксимаций, за счёт реализации селективного по переменным состояния редуцирования, двойное усечение позволяет на порядок повысить точность редуцирования в сравнении с другими известными методами усечения.

Author(s): Kutyakov E.

Article title: Model order reduction of dynamic systems based on spectral decompositions of observability gramian

Issue: 119

Year: 2026

Keywords: model order reduction, observability gramian, subgramian, nonlinear approximation, Carleman linearization

Abstract: The paper considers the use of the observability Gramian decomposition by the eigenvalues of the dynamics matrix of a linear dynamical system for solving the problem of model order reduction. The concept of double truncation is proposed, which assumes the simultaneous elimination of both the eigenvalues of the dynamics matrix (modes) and the state variables from the dynamical system. A theorem on the relationship between the quadratic Lyapunov function and the $H_2$-norm of the transfer function of a linear dynamical system of full and reduced dimension is formulated and proved. Based on this theorem, several methods have been proposed to assess the degree of significance of the modes and states being deleted, and an iterative algorithm for the double truncation method has been developed. The results obtained are extended to the case of reducing the dimension of autonomous nonlinear approximations of dynamical system models linearized by the Carleman method. The effectiveness of the proposed reduction method has been demonstrated during computational experiments conducted on three linear models and one quadratic approximation. In the linear case, the double truncation method provides a consistently good approximation of the original system, but is inferior to the methods of modal and balanced truncation in both accuracy and speed. In the case of autonomous nonlinear approximations, due to the implementation of the selective-by-states reduction, double truncation makes it possible to sufficient increase the accuracy of reduction in comparison with other known truncation methods.