Интернет конференция по проблемам теории и практики управления

Название: Понижение размерности моделей динамических систем на основе спектральных разложений грамианов
Автор: Евгений Кутяков
Аннотация:
В работе рассмотрен вопрос использования разложения грамиана наблюдаемости по собственным значениям матрицы динамики линейной динамической системы при решении задачи понижения её размерности. Предложена концепция двойного усечения, предполагающая одновременное устранение из динамической системы как собственных значений матрицы динамики (мод), так и переменных состояния. Сформулирована и доказана теорема о связи квадратичной функции Ляпунова и $H_2$-нормы передаточной функции линейной динамической системы полной и пониженной размерности. На основе данной теоремы предложено несколько способов оценки степени значимости удаляемых мод и состояний, а также разработан итеративный алгоритм метода двойного усечения. Полученные результаты распространены на случай понижения размерности автономных нелинейные аппроксимации моделей динамических систем, линеаризованных методом Карлемана. Эффективность предложенного метода редуцирования продемонстрирована в ходе вычислительных экспериментов, проведённых на трёх линейных моделях, и одной квадратичной аппроксимации. В линейном случае метод двойного усечения даёт стабильно хорошее приближение исходной системы, однако уступает методам модального и сбалансированного усечения как по точности, так и по быстродействию. В случае автономных нелинейных аппроксимаций, за счёт реализации селективного по переменным состояния редуцирования, двойное усечение позволяет на порядок повысить точность редуцирования в сравнении с другими известными методами усечения.
Ключевые слова:
понижение размерности, грамиан, субграмиан, нелинейная аппроксимация, линеаризация Карлемана

Название: Понижение размерности моделей динамических систем на основе спектральных разложений грамианов
Автор: Евгений Кутяков
Аннотация:
В работе рассмотрен вопрос использования разложения грамиана наблюдаемости по собственным значениям матрицы динамики линейной динамической системы при решении задачи понижения её размерности. Предложена концепция двойного усечения, предполагающая одновременное устранение из динамической системы как собственных значений матрицы динамики (мод), так и переменных состояния. Сформулирована и доказана теорема о связи квадратичной функции Ляпунова и $H_2$-нормы передаточной функции линейной динамической системы полной и пониженной размерности. На основе данной теоремы предложено несколько способов оценки степени значимости удаляемых мод и состояний, а также разработан итеративный алгоритм метода двойного усечения. Полученные результаты распространены на случай понижения размерности автономных нелинейные аппроксимации моделей динамических систем, линеаризованных методом Карлемана. Эффективность предложенного метода редуцирования продемонстрирована в ходе вычислительных экспериментов, проведённых на трёх линейных моделях, и одной квадратичной аппроксимации. В линейном случае метод двойного усечения даёт стабильно хорошее приближение исходной системы, однако уступает методам модального и сбалансированного усечения как по точности, так и по быстродействию. В случае автономных нелинейных аппроксимаций, за счёт реализации селективного по переменным состояния редуцирования, двойное усечение позволяет на порядок повысить точность редуцирования в сравнении с другими известными методами усечения.
Ключевые слова:
понижение размерности, грамиан, субграмиан, нелинейная аппроксимация, линеаризация Карлемана

Название: Декомпозиция спектральных разложений квадратичной функции Ляпунова по элементам пространства состояний
Автор: Евгений Кутяков
Аннотация:
Разложение квадратичной функции Ляпунова по элементам спектра матрицы динамики уже известно. Основными его компонентами являются модальный вклад и модальное взаимодействие, которые образуют базу модального анализа по Ляпунову. В представленной работе изложены результаты дальнейшей декомпозиции этих спектральных разложений по отдельным переменным состояния и по их парным комбинациям. Полученный результат можно также рассматривать как разложение квадратичной функции Ляпунова не только по элементам спектра динамической системы (по модам), но и по элементам пространства состояний, в котором записана модель этой системы. На основе предложенного способа декомпозиции сформулированы новые показатели модального анализа по Ляпунову, которые позволяют оценивать вклад отдельных собственных значений или их парное взаимодействие, но в связи только с той частью внешнего возмущения, которая ассоциирована с конкретной переменной состояния или парой таких переменных. Это, в частности, даёт возможность комплексно оценить совместное влияние как моды, так и связанной с ней переменной состояния на энергию выходного сигнала системы. Предполагается, что основная область применения новых разложений будет связана с задачами уменьшения размерности моделей крупных динамических систем
Ключевые слова:
уравнение Ляпунова, квадратичная функция Ляпунова, грамиан, субграмиан, пространство состояний, модальный анализ

Название: Построение и анализ квадратичной аппроксимации нелинейной модели двухрайонной электроэнергетической системы в пространстве состояний
Автор: Евгений Кутяков
Аннотация:
Представлены результаты математического моделирования двухрайонной четырёхгенераторной электроэнергетической системы (ЭЭС) в пространстве состояний с учётом членов второго порядка малости. Разработано программное обеспечение для построения квадратичных аппроксимаций указанной энергосистемы. Исходная модель ЭЭС основана на нелинейной модели синхронного генератора 6-го порядка, которая объединяет электромеханические уравнения движения ротора, динамику электродвижущей силы (ЭДС) обмотки возбуждения, а также динамику трёх демпферных обмоток. Автоматические регуляторы возбуждения и системные стабилизаторы в модели не учитываются. Для построения квадратичной аппроксимации используется метод линеаризации Карлемана. Приводится подробный анализ спектра матрицы динамики полученной квадратичной аппроксимации исследуемой ЭЭС. Изложены результаты численных экспериментов, в которых продемонстрировано, что по сравнению с традиционно использующейся линеаризованной моделью, разработанная квадратичная аппроксимация даёт качественно новую информацию о переходных процессах исходной ЭЭС, возникающих как при отклонении отдельных переменных состояния, так и при возмущении через входы системы. Полученная модель может использоваться для аналитического исследования нелинейного поведения ЭЭС вблизи её рабочей точки, в частности, для анализа межрайонных колебаний и параметрических резонансов.
Ключевые слова:
нелинейный анализ ЭЭС, нелинейная модель ЭЭС,
линеаризация Карлемана, межрайонные колебания, нелинейные модальные взаимодействия, ряд Тейлора