Распределение остаточного времени жизни и функции избыточных моментов для распределения Гомперца – Мейкхема

Автор(ы): Острер Л.А., Русев В.Н., Скориков А.В., Каныгин С.Н.

Выпуск: 122

Рубрика: Надежность и диагностика средств и систем управления

Год: 2026

Библиография: Острер Л.А., Русев В.Н., Скориков А.В. и др. Распределение остаточного времени жизни и функции избыточных моментов для распределения Гомперца – Мейкхема // Управление большими системами. - 2026. - Вып. 122. - С.389-414.

Дата опубликования: 31.07.2026

Ключевые слова: распределения Гомперца, Мейкхема, асимптотические разложения, средняя избыточная функция, избыточная дисперсия

Аннотация: В актуарной науке закон Гомперца, опубликованный два столетия назад, послужил основной демографической моделью. Этот закон постулировал экспоненциальный рост риска выживаемости людей с возрастом. С тех пор эта модель успешно используется в биологии, актуарной науке и демографии для описания моделей выживаемости у многих видов животных (включая человека), определения страховых полисов, составления актуарных таблиц и моделей роста. Стохастические рассуждения, разработанные для моделирования продолжительности жизни организмов. можно адаптировать на приложения, связанные с теорией надежности. В работе исследуются структурные свойства распределения остаточного времени жизни и остаточных моментов модели Гомперца – Мейкхема. Все структурные свойства моментов выражены, с одной стороны, в замкнутом виде с помощью обобщённой интегро-экспоненциальной функции, или G-функции Мейера, что позволяет непосредственно вычислять их с использованием стандартного программного обеспечения С другой стороны, анализ данных сложных систем показывает, что наборы данных часто могут характеризоваться поведением хвоста распределения вероятностей при большом времени. В статье выводятся асимптотические разложения остаточных моментов для больших значений аргумента и приводятся оценки погрешности. Изучается также проблема оценки параметров модели Гомперца – Мейкхема с помощью метода максимального правдоподобия. Результаты статьи могут служить инструментом для приложений в теории риска, надежности и экстремальных событий.

Author(s): Ostrer L., Rusev V., Skorikov A., Kanygin S.

Article title: Residual lifetime distribution and functions of excess moments for the Gompertz – Makeham distribution

Issue: 122

Year: 2026

Keywords: Gompertz distribution, Makeham distribution, asymptotic expansions, mean excess functions, excess variance

Abstract: In actuarial science, Gompertz’s law, published two centuries ago, has served as a fundamental demographic model positing an exponential increase in human mortality risk with age. Since its inception, this model has been successfully applied in biology, actuarial science, and demography to describe survival patterns across numerous animal species (including humans), determine insurance premiums, construct life tables, and model population growth. Stochastic methodologies developed for modeling organism lifespan can be adapted for applications in reliability theory. This paper derives the structural properties of the residual lifetime distribution and residual moments of the Gompertz – Makeham model. All structural moment properties are expressed, on the one hand, in closed form using the generalized integro-exponential function or Meijer’s G-function, allowing their direct computation with standard software. On the other hand, analysis of data from complex systems shows that data sets can often be characterized by the tail behavior of probability distributions on great ages. Asymptotic expansions of the residual moments are derived, and error bounds are provided for large argument values in this article. The paper also addresses parameter estimation for the Gompertz – Makeham model via the maximum likelihood method.