Об исследовании устойчивости одного класса стационарных решений системы уравнений газовой динамики на вращающейся плоскости

Автор(ы): Турцынский М.К.

Выпуск: 84

Рубрика: Математическая теория управления

Год: 2020

Библиография: Турцынский М.К. Об исследовании устойчивости одного класса стационарных решений системы уравнений газовой динамики на вращающейся плоскости // Управление большими системами. Выпуск 84. М.: ИПУ РАН, 2020. С.51-65. DOI: https://doi.org/10.25728/ubs.2020.84.3

Дата опубликования: 31.03.2020

Ключевые слова: идеальный политропный газ, движение с однородной деформацией, положения равновесия.

Аннотация: Рассмотрена двумерная по пространству система уравнений идеального политропного газа на вращающейся плоскости, возникающая в задачах динамики атмосферы. В общей постановке система очень сложна, однако она допускает решения с линейным по пространственным переменным профилем скорости (отвечающим движениям с однородной деформацией), нахождение которых сводится к решению квадратично-нелинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Эта система обладает двумя семействами особых точек: однопараметрическим вихревым и двупараметрическим, отвечающим сдвиговому течению газа, которое всегда является неустойчивым. Устойчивость этих особых точек означает устойчивость стационарных решений исходной системы в классе возмущений с линейным профилем скорости. В работе исследуется однопараметрическое семейство особых точек, отвечающее стационарному вихревому движению, параметр отвечает интенсивности вихря и может изменяться на всей действительной оси. Ранее были найдены промежутки изменения параметра, в которых имеет место неустойчивость, а также устойчивость по Ляпунову. Эти промежутки, однако, не покрывали всю действительную ось. Для оставшихся интервалов матрица линеаризации имеет три пары комплексно-сопряженных собственных значений с нулевыми действительными частями, поэтому исследование устойчивости традиционными методами затруднено. Мы исследуем этот вопрос при помощи перехода в лагранжевы координаты. Удается построить оценки, которые дают интервалы гарантированной устойчивости. Для газа с одной, двумя и тремя степенями свободы вопрос об устойчивости решен полностью.

Author(s): Turzynsky M.

Article title: On study of stability of one class of stationary solutions for gas dynamics equations on a rotating plane

Issue: 84

Year: 2020

Keywords: ideal polytropic gas, motion with uniform deformation, equilibria.

Abstract: We consider a two-dimensional system of equations of an ideal polytropic gas on a rotating plane, which arises in the dynamics of the atmosphere. The problem is very difficult in the general case, however, it admits solutions with a linear profile of velocity (corresponding to motion with uniform deformation), which can be found by solving a quadratically nonlinear system of ordinary differential equations. The system has two families of equilibria: the first family is one-parametric (corresponds to a vortex) and the second one is two-parametric (corresponds to a shift flow), the latter is always unstable. The stability of equilibria means the stability of stationary solutions of the original system in the class of perturbations with linear profile of velocity. The article considers a one-parametric family of equilibria, which corresponds to a stationary vortex motion, the parameter is responsible for the vortex intensity and changes over the real axis. Intervals of the parameter where equilibrium is unstable and where it is stable in the sense of Lyapunov were found earlier. However, they did not cover the entire real axis. For the remaining parameter values, the matrix of linearization has three pairs of purely imaginary complex conjugate eigenvalues, therefore the study of stability by conventional methods is difficult. We investigate the matter in Lagrangian coordinates. Estimates that provide intervals of guaranteed stability are constructed. The stability issue is completely resolved for a gas with one, two, and three degrees of freedom.