Неравенство Лордена и скорость сходимости распределения одной обобщённой системы массового обслуживания Эрланга – Севастьянова

Автор(ы): Зверкина Г.А.

Выпуск: 102

Рубрика: Математическая теория управления

Год: 2023

Библиография: Зверкина Г.А. Неравенство Лордена и скорость сходимости распределения одной обобщённой системы массового обслуживания Эрланга – Севастьянова // Управление большими системами. Выпуск 102. М.: ИПУ РАН, 2023. С.15-43. DOI: https://doi.org/10.25728/ubs.2023.102.2

Дата опубликования: 31.03.2023

Ключевые слова: регенерирующие марковские процессы, метод склеивания, метрика полной вариации, обобщённая система Эрланга -- Севастьянова, скорость сходимости

Аннотация: Во многих прикладных задачах теории надежности и массового обслуживания очень важно не только доказывать существование стационарного распределения, но и уметь оценивать скорость сходимости распределения к стационарному. Стандартные методы получения таких оценок предполагают, что времена обслуживания (ремонта или работы) экспонециальны, входящий поток -- пуассоновский и все формирующие процесс обслуживания (надёжности) случайные величины (сл.в.) независимы. Результаты для таких простейших случаев хорошо известны. Отказ от предположений независимости и экспоненциальности этих сл.в. приводит к довольно сложным случайным процессам, которые очень трудно изучать с помощью стандартных процедур. Для таких процессов нужно использовать более сложную технику. Для этого потребуется некоторое обобщение (и доказательство) ряда известных результатов. Один из таких результатов -- обобщённое неравенство Лордена, используемое в данной статье. "Классическое" неравенство Лордена касается "классических" процессов восстановления. В работе используется обобщение этого неравенства для случая "слабо зависимых" и имеющих в некотором смысле "близкие" распределения интервалов между моментами восстановления. Такое обобщение позволяет изучать скорость сходимости для широкого класса сложных процессов в ТМО и в смежных дисциплинах. В данной работе изучается одна обобщённая система массового обслуживания Эрланга -- Севастьянова.

Author(s): Zverkina G.

Article title: Lorden's inequality and the rate of convergence of the distribution of one generalized Erlang -- Sevast'yanov queuing system

Issue: 102

Year: 2023

Keywords: regenerative Markov processes, coupling method, total variation metric, generalized Erlang-Sevastyanov system, rate of convergence

Abstract: It is more important to estimate the rate of convergence to a stationary distribution rather than only to prove the existence one in many applied problems of reliability and queuing theory. This can be done via standard methods, but only under assumptions about an exponential distribution of service time, independent intervals between recovery times, etc. Results for such simplest cases are well-known. Rejection of these assumptions results to rather complex stochastic processes that cannot be studied using standard algorithms. A more sophisticated approach is needed for such processes. That requires generalizations and proofs of some classical results for a more general case. One of them is the generalized Lorden's inequality proved in this paper. We propose the generalized version of this inequality for the case of dependent and arbitrarily distributed intervals between recovery times. This generalization allows to find upper bounds for the rate of convergence for a wide class of complicated processes arising in the theory of reliability. The rate of convergence for a two-component process has been obtained via the generalized Lorden's inequality in this paper.