Множества достижимости и обобщённая H2-норма линейной дискретной дескрипторной системы

Автор(ы): Бубнова Е.С.

Выпуск: 103

Рубрика: Математическая теория управления

Год: 2023

Библиография: Бубнова Е.С. Множества достижимости и обобщённая H2-норма линейной дискретной дескрипторной системы // Управление большими системами. Выпуск 103. М.: ИПУ РАН, 2023. С.78-93. DOI: https://doi.org/10.25728/ubs.2023.103.3

Дата опубликования: 31.05.2023

Ключевые слова: дескрипторная система, обобщённая H2-норма, множество достижимости, проекционное уравнение Ляпунова

Аннотация: Рассматривается линейная дискретная дескрипторная система, не обладающая свойством причинности, на конечном горизонте при допустимых начальных условиях и возмущении ограниченной энергии, т.е. ограниченной l2-нормы. Вводится понятие обобщённой H2-нормы как нормы линейного оператора, порождённого этой системой. Приводится метод вычисления обобщённой H2-нормы с помощью решения разностных проекционных уравнений Ляпунова. Показано, что если сумма квадратичных форм начального и конечного состояний и суммы квадратичных форм возмущения на конечном интервале времени ограничена сверху заданной величиной, то множеством достижимости данной системы является изменяющийся во времени эллипсоид, матрица которого удовлетворяет разностному проекционному уравнению Ляпунова. Установлено, что обобщённая H2-норма системы при ненулевых начальных условиях совпадает с величиной максимальной на заданном интервале времени полуоси эллипсоидального множества достижимости для данного выхода системы. В~качестве иллюстрации полученных результатов приводится пример дескрипторной системы четвёртого порядка, для которой вычислена обобщённая H_2-норма и построены множества достижимости. Приводятся графики результатов численного моделирования и проекций множеств достижимости на плоскости, соответствующие прямой и обратной подсистемам.

Author(s): Bubnova E.

Article title: Reachability sets and the generalized h_2-norm of a linear discrete descriptor system

Issue: 103

Year: 2023

Keywords: descriptor system, generalized H2-norm, reachability set, projected Lyapunov equation

Abstract: The paper focuses on a linear discrete noncausal descriptor system on a finite horizon under consistent initial conditions and bounded external disturbances, i.e. a bounded l2 norm. The notion of the generalized H2-norm for a linear discrete descriptor system is introduced as the induced norm of the linear operator generated by the system under consideration. This norm is characterized in terms of difference projected generalized Lyapunov equation solutions. It is demonstrated that if the sum of the quadratic forms of the initial and final states and the sum of the quadratic forms of the disturbance over a finite time interval is bounded by a given value from above, the reachability set of this system is a time-varying ellipsoid whose matrix satisfies the difference projected generalized Lyapunov equation. It is established that the generalized H2-norm of the system under non-zero initial conditions coincides with the value of the maximum half-axis of the reachability ellipsoidal set for a given output of the system. An example of a fourth-order descriptor system is provided as an illustration of the results. For this system a generalized H2-norm is calculated and reachability sets are constructed. The paper demonstrates the results of numerical simulations and projections of reachability sets on the plane corresponding to the forward and backward subsystems.