Применение отрицательного биномиального распределения для аппроксимации стационарного распределения числа заявок в СМО с входящим MAP-потоком, интенсивность которого зависит от состояния системы

Автор(ы): Полин Е.П., Моисеева С.П., Моисеев А.Н.

Выпуск: 108

Рубрика: Системный анализ

Год: 2024

Библиография: Полин Е.П., Моисеева С.П., Моисеев А.Н. Применение отрицательного биномиального распределения для аппроксимации стационарного распределения числа заявок в СМО с входящим MAP-потоком, интенсивность которого зависит от состояния системы // Управление большими системами. Выпуск 108. М.: ИПУ РАН, 2024. С.40-56. DOI: https://doi.org/10.25728/ubs.2024.108.3

Дата опубликования: 31.03.2024

Ключевые слова: гетерогенная система массового обслуживания, переменная интенсивность, отрицательное биномиальное распределение

Аннотация: Рассматривается математическая модель бесконечнолинейной системы массового обслуживания с входящим MAP-потоком с интенсивностью, зависящей от числа занятых приборов. Параметры входящего потока, а именно его условные интенсивности, меняются каждый раз, когда изменяется состояние системы, то есть появляется новая заявка либо одна из заявок завершает обслуживание. Дисциплина обслуживания определяется тем, что заявка занимает любой из свободных приборов в системе, на котором выполняется ее обслуживание в течение случайного времени, распределенного по экспоненциальному закону. Для данной модели получение стационарного распределения вероятностей числа заявок в системе аналитическим путем не представляется возможным, поэтому в данной работе предлагается эвристический подход, а именно – использование отрицательного биномиального распределения как аппроксимации для искомого распределения. Предлагается два подхода такой аппроксимации, для которых выполнен численный анализ точности на основе сравнения с результатами имитационного моделирования. Первый подход основан на вычислении параметров отрицательного биномиального распределения с помощью точных значений математического ожидания и дисперсии числа заявок в рассматриваемой системе, а второй – на том факте, что интенсивность поступающих заявок определяется управляющей потоком цепью Маркова. Было получено, что первый способ аппроксимации дает более точные результаты, однако при большой загрузке системы обе аппроксимации имеют большую погрешность.

Author(s): Polin E., Moiseeva S., Moiseev A.

Article title: Application of negative binomial distribution to approximate the stationary distribution of the number of arrivals in a QS with an incoming MAP, the intensity of which depends on the state of the system

Issue: 108

Year: 2024

Keywords: heterogeneous queuing system, variable intensity, negative binomial distribution

Abstract: This paper considers a mathematical model of an infinite-linear queuing system with an incoming MAP with an intensity depending on the number of busy servers. The parameters of the incoming process, namely its conditional intensities, change every time the state of the system changes, that is, a new request appears or one of the requests completes servicing. The service discipline is determined by the fact that the request occupies any of the free devices in the system on which its service is performed for a random time distributed according to an exponential distribution. For this model, obtaining a stationary probability distribution of the number of applications in the system by analytical means is not possible, so this paper proposes a heuristic approach, namely, the use of a negative binomial distribution as an approximation for the desired distribution. Two approaches to such approximation are proposed, for which a numerical analysis of the accuracy is performed based on comparison with the results of simulation modeling. The first approach is based on calculating the parameters of the negative binomial distribution using the exact values of the expected value and dispersion of the number of applications in the system under consideration, and the second is based on the fact that the intensity of incoming applications is determined by the Markov chain controlling the incoming process. It was found that the first approximation method gives more accurate results, however, when the system is heavily loaded, both approximations have a large error.