Об экспоненциальной сходимости коэффициента готовности

Автор(ы): Зверкина Г.А.

Выпуск: 90

Рубрика: Системный анализ

Год: 2021

Библиография: Зверкина Г.А. Об экспоненциальной сходимости коэффициента готовности // Управление большими системами. Выпуск 90. М.: ИПУ РАН, 2021. С.5-35. DOI: https://doi.org/10.25728/ubs.2021.90.1

Дата опубликования: 31.03.2021

Ключевые слова: коэффициент готовности, восстанавливаемый элемент, оценка скорости сходимости, экспоненциальная сходимость

Аннотация: В теории надёжности важную роль играет знание значения (или оценок значения) коэффициента готовности, т.е. вероятности того, что в заданный момент времени устройство исправно. В большинстве случаев вычисление стационарного значения коэффициента готовности не вызывает больших сложностей. Однако в реальных приложениях надо знать, как скоро значение коэффициента готовности станет достаточно близким к своему предельному значению, т.е. важно знать скорость сходимости коэффициента готовности к его стационарному значению. В тех случаях, когда распределения времён работы и восстановления являются экспоненциальными, вопрос о скорости сходимости коэффициента готовности – это вопрос о скорости сходимости решения уравнений Колмогорова -- Чэпмена с постоянными коэффициентами. Такая задача разрешима с помощью операционного исчисления. Также заметим, что большинство процессов, описывающих поведение систем надёжности, являются регенерирующими, и для них известен тип скорости сходимости распределения к стационарному – экспоненциальное или степенное. Строгие оценки скорости сходимости для регенерирующих процессов могут быть получены с помощью неравенства Лордена, когда известно распределение длины одного периода регенерации. Но для систем надёжности можно учитывать и конкретные особенности исследуемого регенерирующего периода. В настоящей статье показан метод построения строгой экспоненциальной оценки скорости сходимости коэффициента готовности для одного восстанавливаемого элемента.

Author(s): Zverkina G.

Article title: On exponential convergence of availability factor

Issue: 90

Year: 2021

Keywords: availability factor, restorable element, bounds for convergence rate, exponential convergence

Abstract: The availability factor is the probability that the system is working properly at a given moment of time. It’s estimation and calculation are one the most important tasks in a reliability theory. The calculating of the stationary value of the availability factor is not difficult for the most cases. However, in real applications it is necessary to know how soon the value of the availability factor becomes sufficiently close to its limiting value, i.e. it is important to know the rate of convergence of the availability factor to its stationary value. In cases where the distributions function of the operating and recovery times are exponential, the question of the rate of convergence of the availability factor is the question of the rate of convergence of the solution of the Kolmogorov -- Chapman equations with constant coefficients. This problem is solvable by means of Laplace transform. The most processes describing the behavior of reliability systems are regenerative, and for them the type of rate of convergence of the distribution to a stationary one is known -- exponential or polynomial. Thе strong upper bounds of the rate of the convergence for regenerative processes can be obtained using the Lorden's inequality, when the distribution of the length of a regeneration period is known. But for reliability systems, it is possible to take into account the specific features of the investigated regeneration period. This article shows a method for constructing a strong exponential bounds for convergence rate of the availability factor for one restorable element.