Об оценках скорости сходимости однородных нелинейных цепей Маркова в дискретном времени

Автор(ы): Щеголев А.А.

Выпуск: 90

Рубрика: Системный анализ

Год: 2021

Библиография: Щеголев А.А. Об оценках скорости сходимости однородных нелинейных цепей Маркова в дискретном времени // Управление большими системами. Выпуск 90. М.: ИПУ РАН, 2021. С.36-48. DOI: https://doi.org/10.25728/ubs.2021.90.2

Дата опубликования: 31.03.2021

Ключевые слова: нелинейные марковские цепи, эргодичность, скорость сходимости

Аннотация: Рассмотрена улучшенная оценка скорости сходимости однородных нелинейных марковских цепей в дискретном времени. Данный класс процессов нелинеен в терминах закона распределения, т.е. помимо зависимости от текущего состояния процесса переходные ядра также зависят и от вероятностного распределения в этот момент. Чаще всего такие процессы выступают в качестве предельных для больших систем зависимых цепей Маркова со взаимодействием. Полученная в работе оценка обобщает существующие результаты о сходимости с использованием переходных вероятностей за два шага. В частности показано, что данный подход не нарушает существования и единственности инвариантной меры при наложении условий, аналогичных использовавшимся при построении оценки за один шаг. На примере нескольких нелинейных марковских цепей показано, что полученная оценка обладает более высокой скоростью сходимости, а также может быть использована в случаях, когда оценка за один шаг неприменима. Помимо этого, приведённые примеры иллюстрируют тот факт, что невыполнение условий сходимости для оценки за один шаг не препятствует сходимости некоторых однородных нелинейных цепей Маркова в дискретном времени.

Author(s): Shchegolev A.

Article title: On rate of convergence estimates for homogeneous discrete-time nonlinear markov chains

Issue: 90

Year: 2021

Keywords: nonlinear Markov chains, ergodicity, rate of convergence

Abstract: The paper studies an improved estimate for the rate of convergence for nonlinear homogeneous discrete-time Markov chains. These processes are nonlinear in terms of the distribution law. Hence, the transition kernels are dependent on the current probability distributions of the process apart from being dependent on the current state. Such processes often act as limits for large-scale systems of dependent Markov chains with interaction. The paper generalizes the convergence results by taking the estimate over two steps. Such an approach keeps the existence and uniqueness results under assumptions that are analogical to the one-step result. It is shown that such an approach may lead to a better rate of convergence. Several examples provided illustrating the fact that the suggested estimate may have a better rate of convergence than the original one. Also, it is shown that the new estimate may even be applicable in some cases when the conditions of the result on one step cannot guarantee any convergence. Finally, these examples depict that the original conditions may not be an obstacle for the convergence of nonlinear Markov chains.